Задача 1
Условие (кратко)
Окружность с центром O радиуса 4,5 см и точка A, ОА = 9 см. Через A проведены две касательные к окружности. Найдите угол между ними.
Решение
Дано
- \(OB = OC = 4{,}5\) см
- \(OA = 9\) см
- \(AB\) и \(AC\) — касательные
- \(B\) и \(C\) — точки касания
Найти
- \(\angle BAC\)
- \(OB \perp AB\), поэтому треугольник \(OBA\) прямоугольный с гипотенузой \(OA\).
- Катет \(OB = 4{,}5\) см равен половине гипотенузы \(OA = 9\) см, значит, он лежит против угла \(30^\circ\): \(\angle OAB = 30^\circ\).
- Отрезки касательных из одной точки составляют равные углы с прямой \(AO\): \(\angle OAC = \angle OAB = 30^\circ\).
- \(\angle BAC = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ\).
Ответ
60°
Почему так
Радиус — катет, равный половине OA, поэтому каждая касательная образует с AO угол 30°.
Подробнее — в теме «Касательная к окружности».