Задача 1
Условие (кратко)
AB и AC — отрезки касательных к окружности с центром O, проведённые из точки A. Найдите угол BAC, если середина отрезка AO лежит на окружности.
Решение
Дано
- \(AB\)
- \(AC\) — отрезки касательных
- \(M\) — середина \(AO\)
- \(M\) лежит на окружности
Найти
- \(\angle BAC\)
- \(OM\) — радиус, а \(M\) — середина \(AO\), поэтому \(AO = 2 \cdot OM = 2r = 2 \cdot OB\).
- В прямоугольном треугольнике \(OBA\) (\(\angle B = 90^\circ\)) катет \(OB\) равен половине гипотенузы \(OA\), значит, \(\angle OAB = 30^\circ\).
- Так же \(\angle OAC = 30^\circ\), и \(\angle BAC = 60^\circ\).
Ответ
∠BAC = 60°
Почему так
Из условия OA = 2r, поэтому радиус лежит против угла 30° в прямоугольном треугольнике OBA.
Подробнее — в теме «Касательная к окружности».