Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 42

Упражнение 356 к § 42

Задача 1

Условие (кратко)

В треугольнике ABC угол B прямой. Докажите: а) прямая BC — касательная к окружности с центром A радиуса AB.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $\angle B = 90^\circ$ , окружность с центром $$A$$ радиуса $$AB$$ . Доказать: $$BC$$ — касательная.

Точка $$B$$ лежит на окружности, $$AB$$ — её радиус.
Прямая $$BC$$ проходит через конец $$B$$ радиуса $$AB$$ и перпендикулярна ему, так как $\angle ABC = 90^\circ$ .
По признаку касательной $$BC$$ — касательная к окружности.

Ответ

Утверждение доказано — BC касается окружности в точке B.

Почему так

Признак касательной — прямая перпендикулярна радиусу в его конце на окружности.

Условие (кратко)

б) Прямая AB — касательная к окружности с центром C радиуса CB.

Решение

Дано: $\angle B = 90^\circ$ , окружность с центром $$C$$ радиуса $$CB$$ . Доказать: $$AB$$ — касательная.

$$B$$ лежит на окружности, $$CB$$ — радиус.
$AB \perp CB$ , так как $\angle ABC = 90^\circ$ , и $$AB$$ проходит через конец $$B$$ радиуса.
По признаку касательной $$AB$$ — касательная.

Ответ

Утверждение доказано — AB касается окружности в точке B.

Почему так

Прямая AB перпендикулярна радиусу CB в точке B окружности.

Условие (кратко)

в) Прямая AC не является касательной к окружностям с центром B и радиусами BA и BC.

Решение

Дано: $\angle B = 90^\circ$ , окружности с центром $$B$$ радиусов $$BA$$ и $$BC$$ . Доказать: $$AC$$ не касается ни одной из них.

Точка $$A$$ лежит на окружности радиуса $$BA$$ и на прямой $$AC$$ . Если бы $$AC$$ касалась этой окружности, то $$A$$ была бы точкой касания и по свойству касательной $AC \perp BA$ , то есть $\angle BAC = 90^\circ$ .
Но в треугольнике может быть только один прямой угол, а угол $$B$$ уже прямой, поэтому $\angle BAC < 90^\circ$ . Противоречие — $$AC$$ не касательная.
Так же точка $$C$$ — общая точка прямой $$AC$$ и окружности радиуса $$BC$$ ; касание означало бы $\angle BCA = 90^\circ$ , что невозможно.

Ответ

Утверждение доказано — AC не касается ни одной из окружностей.

Почему так

Касательная в точке A (или C) была бы перпендикулярна радиусу, а углы A и C прямоугольного треугольника острые.