Задача 1
Условие (кратко)
Постройте касательную к данной окружности, параллельную данной прямой.
Решение
Даны окружность с центром \(O\) и прямая \(a\).
Построение:
- Через центр \(O\) проведём прямую \(b \perp a\) (построение перпендикуляра к прямой).
- Прямая \(b\) пересекает окружность в точках \(A\) и \(B\).
- Через точку \(A\) проведём прямую \(p \perp b\).
- Прямая \(p\) — искомая касательная.
Почему: \(p\) проходит через конец радиуса \(OA\) и перпендикулярна ему — по признаку это касательная. Прямые \(p\) и \(a\) перпендикулярны одной прямой \(b\), значит, \(p \parallel a\) (если \(a\) сама касается окружности в точке \(A\), то \(p\) совпадает с \(a\)). Точно так же через точку \(B\) получаем вторую касательную — задача имеет два решения.
Ответ
Построены касательные в концах диаметра, перпендикулярного данной прямой; их две.
Почему так
Касательная параллельна прямой a, если радиус в точку касания перпендикулярен a.
Подробнее — в теме «Касательная к окружности».