Задача 1
Условие (кратко)
Постройте касательную к данной окружности, перпендикулярную к данной прямой.
Решение
Даны окружность с центром \(O\) и прямая \(a\).
Построение:
- Через центр \(O\) проведём прямую \(c \perp a\).
- Через \(O\) проведём прямую \(b \perp c\); тогда \(b \parallel a\).
- Прямая \(b\) пересекает окружность в точках \(A\) и \(B\).
- Через точку \(A\) проведём прямую \(p \perp b\) — это искомая касательная.
Почему: \(p\) перпендикулярна радиусу \(OA\) в его конце — по признаку это касательная. Так как \(p \perp b\) и \(b \parallel a\), то \(p \perp a\). Через точку \(B\) получаем вторую такую касательную — решений два.
Ответ
Построены две касательные в концах диаметра, параллельного данной прямой.
Почему так
Касательная перпендикулярна прямой a, если радиус в точку касания параллелен a.
Подробнее — в теме «Касательная к окружности».