Задача 1
Условие (кратко)
Две окружности с центрами O₁ и O₂ вписаны в угол. Одна касается его сторон в точках A и D, вторая — в точках B и C. Докажите, что AB = CD.
Решение
Дано: угол с вершиной \(K\); окружность с центром \(O_1\) касается сторон в точках \(A\) и \(D\), окружность с центром \(O_2\) — в точках \(B\) и \(C\); \(A\) и \(B\) лежат на одной стороне угла, \(D\) и \(C\) — на другой. Доказать: \(AB = CD\).
- \(KA\) и \(KD\) — отрезки касательных к первой окружности, проведённые из точки \(K\), поэтому \(KA = KD\).
- \(KB\) и \(KC\) — отрезки касательных ко второй окружности из той же точки: \(KB = KC\).
- Точки \(A\) и \(B\) лежат на одном луче с началом \(K\), поэтому \(AB = |KB - KA|\). Так же \(CD = |KC - KD|\).
- Подставляя равенства из пунктов 1 и 2, получаем \(AB = CD\).
Ответ
Утверждение доказано — AB = CD.
Почему так
Отрезки касательных из вершины угла к каждой окружности равны, а AB и CD — их разности.
Подробнее — в теме «Вписанная и описанная окружности треугольника».