Задача 1
Условие (кратко)
Постройте серединный перпендикуляр к данному отрезку.
Решение
Дан отрезок \(AB\).
Построение:
- Проведём окружность с центром \(A\) радиуса \(AB\).
- Проведём окружность с центром \(B\) того же радиуса \(AB\). Окружности пересекаются в двух точках \(M_1\) и \(M_2\) по разные стороны от \(AB\).
- Проведём прямую \(M_1M_2\) — это искомый серединный перпендикуляр.
Почему: \(AM_1 = BM_1 = AB\) и \(AM_2 = BM_2 = AB\) как радиусы равных окружностей. Значит, каждая из точек \(M_1\) и \(M_2\) равноудалена от концов отрезка \(AB\) и лежит на его серединном перпендикуляре. Через две точки проходит только одна прямая, поэтому прямая \(M_1M_2\) и есть серединный перпендикуляр. Это построение используют, чтобы найти центр описанной окружности.
Ответ
Построена прямая M₁M₂ — серединный перпендикуляр к AB.
Почему так
Точки пересечения двух окружностей радиуса AB с центрами A и B равноудалены от концов отрезка.
Подробнее — в теме «Вписанная и описанная окружности треугольника».