Задача 1
Условие (кратко)
Отметьте три точки, не лежащие на одной прямой, и постройте окружность, проходящую через эти точки.
Решение
Даны точки \(A\), \(B\), \(C\), не лежащие на одной прямой; они — вершины треугольника \(ABC\), и нужно построить описанную около него окружность.
Построение:
- Построим серединный перпендикуляр \(m\) к отрезку \(AB\) (задача 362).
- Построим серединный перпендикуляр \(n\) к отрезку \(BC\).
- Отметим точку \(O\) пересечения прямых \(m\) и \(n\).
- Проведём окружность с центром \(O\) радиуса \(OA\).
Почему: точка \(O\) лежит на \(m\), поэтому \(OA = OB\); лежит на \(n\), поэтому \(OB = OC\). Значит, \(OA = OB = OC\), и окружность проходит через все три точки. Прямые \(m\) и \(n\) пересекаются, так как они перпендикулярны непараллельным прямым \(AB\) и \(BC\). Такая окружность единственная.
Ответ
Построена окружность с центром в точке пересечения серединных перпендикуляров к AB и BC.
Почему так
Центр окружности, проходящей через три точки, равноудалён от них и лежит на серединных перпендикулярах.
Подробнее — в теме «Вписанная и описанная окружности треугольника».