Задача 1
Условие (кратко)
Начертите тупоугольный, прямоугольный и остроугольный треугольники и постройте для каждого описанную окружность. Как расположен её центр относительно треугольника в каждом случае?
Решение
Для каждого треугольника строим серединные перпендикуляры к двум сторонам (задача 362), точку их пересечения \(O\) берём за центр, радиус — расстояние от \(O\) до любой вершины (задача 363).
Что должно получиться:
- Остроугольный треугольник — центр \(O\) лежит внутри треугольника.
- Прямоугольный — центр совпадает с серединой гипотенузы (задача 369), гипотенуза — диаметр окружности.
- Тупоугольный — центр лежит вне треугольника: за самой длинной стороной (противолежащей тупому углу), по другую сторону от неё, чем вершина тупого угла.
Проверить построение удобно так: третий серединный перпендикуляр должен пройти через ту же точку \(O\).
Ответ
Центр описанной окружности — внутри остроугольного треугольника, в середине гипотенузы прямоугольного и вне тупоугольного.
Почему так
Положение центра описанной окружности зависит от вида треугольника по углам.
Подробнее — в теме «Вписанная и описанная окружности треугольника».