Задача 1
Условие (кратко)
Начертите тупоугольный, прямоугольный и остроугольный треугольники и впишите в каждый окружность. Как расположен центр окружности относительно треугольника в каждом случае?
Решение
Для каждого треугольника:
- Построим биссектрисы двух углов (построение биссектрисы угла циркулем и линейкой).
- Точку их пересечения \(O\) возьмём за центр.
- Опустим из \(O\) перпендикуляр \(OK\) на любую сторону и проведём окружность с центром \(O\) радиуса \(OK\).
Почему: точка \(O\) лежит на биссектрисах, поэтому равноудалена от всех сторон; стороны перпендикулярны радиусам в точках касания и касаются окружности.
Что должно получиться: во всех трёх случаях центр вписанной окружности лежит внутри треугольника — биссектрисы углов треугольника всегда пересекаются внутри него.
Ответ
Центр вписанной окружности во всех трёх случаях лежит внутри треугольника.
Почему так
Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис, а она всегда внутри треугольника.
Подробнее — в теме «Вписанная и описанная окружности треугольника».