Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что для равностороннего треугольника центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(AB = BC = CA\). Доказать: центр вписанной окружности совпадает с центром описанной.
- Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис, центр описанной — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
- Равносторонний треугольник равнобедренный с любым основанием. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой. Поэтому биссектриса угла \(B\) проходит через середину \(AC\) и перпендикулярна \(AC\) — она лежит на серединном перпендикуляре к \(AC\).
- Так же биссектриса угла \(A\) лежит на серединном перпендикуляре к \(BC\).
- Точка пересечения биссектрис углов \(A\) и \(B\) совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров к \(BC\) и \(AC\). Значит, центры совпадают.
Ответ
Утверждение доказано — центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
Почему так
В равностороннем треугольнике каждая биссектриса лежит на серединном перпендикуляре к противоположной стороне.
Подробнее — в теме «Вписанная и описанная окружности треугольника».