Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 43

Упражнение 369 к § 43

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $\angle C = 90^\circ$ , $$M$$ — середина гипотенузы $$AB$$ . Доказать: $$M$$ — центр описанной окружности.

$$CM$$ — медиана, проведённая к гипотенузе. По свойству прямоугольного треугольника (свойство 4 п. 35) она равна половине гипотенузы: $CM = \dfrac{AB}{2}$ .
Кроме того, $MA = MB = \dfrac{AB}{2}$ , так как $$M$$ — середина $$AB$$ .
Значит, $$MA = MB = MC$$ : точка $$M$$ равноудалена от всех вершин, и окружность с центром $$M$$ радиуса $$MA$$ проходит через $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ .
Около треугольника можно описать только одну окружность, поэтому её центр — точка $$M$$ .

Ответ

Утверждение доказано — центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы.

Почему так

Медиана к гипотенузе равна её половине, поэтому середина гипотенузы равноудалена от всех вершин.