Задача 1
Условие (кратко)
Стороны угла BAC, равного 60°, касаются окружности с центром O. Найдите длину отрезка OA, если радиус окружности равен 5 см.
Решение
Дано
- \(\angle BAC = 60^\circ\)
- окружность с центром \(O\) радиуса 5 см касается сторон угла
- \(K\) — точка касания на стороне \(AB\)
Найти
- \(OA\)
- Окружность вписана в угол, поэтому её центр лежит на биссектрисе угла: \(\angle OAK = \dfrac{60^\circ}{2} = 30^\circ\).
- \(OK \perp AB\) (радиус в точку касания), \(OK = 5\) см.
- В прямоугольном треугольнике \(AKO\) катет \(OK\) лежит против угла \(30^\circ\), значит, гипотенуза вдвое больше: \(OA = 2 \cdot 5 = 10\) см.
Ответ
OA = 10 см
Почему так
Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе, и радиус — катет против угла 30°.
Подробнее — в теме «Вписанная и описанная окружности треугольника».