Задача 1
Условие (кратко)
Найдите периметр прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 26 см, а радиус вписанной окружности — 4 см.
Решение
Дано
- \(\triangle ABC\)
- \(\angle C = 90^\circ\)
- \(AB = 26\) см
- \(r = 4\) см
Найти
- \(P_{ABC}\)
- Пусть вписанная окружность с центром \(O\) касается \(AC\), \(BC\), \(AB\) в точках \(K\), \(L\), \(M\).
- \(OC\) — биссектриса прямого угла, \(\angle OCK = 45^\circ\); в прямоугольном треугольнике \(OKC\) второй острый угол тоже \(45^\circ\), поэтому \(CK = OK = 4\) см. Так же \(CL = 4\) см.
- Отрезки касательных из одной точки равны: \(AK = AM\), \(BL = BM\), поэтому \(AK + BL = AM + BM = AB = 26\) см.
- \(AC + BC = (AK + CK) + (BL + CL) = 26 + 4 + 4 = 34\) см.
- \(P = 34 + 26 = 60\) см.
Ответ
60 см
Почему так
Отрезки касательных из вершин острых углов в сумме дают гипотенузу, а из вершины прямого угла равны радиусу.
Подробнее — в теме «Вписанная и описанная окружности треугольника».