Задача 1
Условие (кратко)
В равнобедренный треугольник вписана окружность с центром O, и около него описана окружность с центром E. Докажите, что O и E лежат на серединном перпендикуляре к основанию треугольника.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(AB = BC\), \(O\) — центр вписанной окружности, \(E\) — центр описанной. Доказать: \(O\) и \(E\) лежат на серединном перпендикуляре к \(AC\).
- Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам. Значит, \(E\) лежит на серединном перпендикуляре к \(AC\).
- Центр вписанной окружности \(O\) лежит на биссектрисе \(BD\) угла \(B\).
- В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой: \(AD = DC\) и \(BD \perp AC\). Значит, прямая \(BD\) — серединный перпендикуляр к \(AC\).
- Итак, обе точки \(O\) и \(E\) лежат на прямой \(BD\) — серединном перпендикуляре к основанию.
Ответ
Утверждение доказано — O и E лежат на серединном перпендикуляре к основанию.
Почему так
Биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника совпадает с серединным перпендикуляром к основанию.
Подробнее — в теме «Вписанная и описанная окружности треугольника».