Задача 1
Условие (кратко)
Число a выражает длину отрезка AB при единице измерения CD, а число b — длину CD при единице измерения AB. Как связаны числа a и b?
Решение
Дано
- длина \(AB\) при единице \(CD\) равна \(a\)
- длина \(CD\) при единице \(AB\) равна \(b\)
Найти
- связь между \(a\) и \(b\)
- Длина отрезка при выбранной единице показывает, сколько раз единица укладывается в отрезке. Поэтому «длина \(AB\) при единице \(CD\) равна \(a\)» означает \(AB = a \cdot CD\).
- Точно так же \(CD = b \cdot AB\).
- Подставим второе равенство в первое: \(AB = a \cdot b \cdot AB\).
- Длина отрезка \(AB\) не равна нулю, поэтому обе части можно разделить на \(AB\): \(ab = 1\).
Значит, числа \(a\) и \(b\) взаимно обратные: \(b = \dfrac{1}{a}\). Например, если \(AB\) втрое длиннее \(CD\), то \(a = 3\), а \(b = \dfrac{1}{3}\).
Ответ
ab = 1 (числа a и b взаимно обратные)
Почему так
Если одна единица укладывается в другой a раз, то вторая составляет 1/a от первой.
Подробнее — в теме «Измерение отрезков».