Задача 1
Условие (кратко)
Угол hk — меньший из смежных углов hk и hl. Доказать, что ∠hk = 90° − ½(∠hl − ∠hk) и ∠hl = 90° + ½(∠hl − ∠hk).
Решение
Дано: \(\angle hk\) и \(\angle hl\) — смежные, \(\angle hk < \angle hl\). Доказать: \(\angle hk = 90^\circ - \dfrac{1}{2}(\angle hl - \angle hk)\), \(\angle hl = 90^\circ + \dfrac{1}{2}(\angle hl - \angle hk)\).
- Сумма смежных углов равна \(180^\circ\): \(\angle hk + \angle hl = 180^\circ\), поэтому \(90^\circ = \dfrac{1}{2}(\angle hk + \angle hl)\).
- Подставим это в правую часть первого равенства:
\[90^\circ - \dfrac{1}{2}(\angle hl - \angle hk) = \dfrac{1}{2}(\angle hk + \angle hl) - \dfrac{1}{2}(\angle hl - \angle hk) = \dfrac{1}{2} \cdot 2\angle hk = \angle hk.\]
- Так же для второго:
\[90^\circ + \dfrac{1}{2}(\angle hl - \angle hk) = \dfrac{1}{2}(\angle hk + \angle hl) + \dfrac{1}{2}(\angle hl - \angle hk) = \dfrac{1}{2} \cdot 2\angle hl = \angle hl.\]
Оба равенства доказаны. Смысл: меньший из смежных углов на половину их разности меньше прямого угла, а больший — на столько же больше.
Ответ
Утверждение доказано: оба равенства следуют из ∠hk + ∠hl = 180°.
Почему так
Сумма смежных углов равна 180°, поэтому 90° — их полусумма, а каждый угол отличается от полусуммы на полуразность.
Подробнее — в теме «Смежные и вертикальные углы».