Задача 1
Условие (кратко)
Пять прямых пересекаются в одной точке (рис. 182; на рисунке отмечены углы 1–5, по одному из каждой пары вертикальных углов). Найти сумму углов 1, 2, 3, 4 и 5.
Решение
Дано
- пять прямых проходят через точку \(O\)
- углы 1–5 отмечены на рисунке
Найти
- \(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 + \angle 5\)
- Пять прямых дают 10 лучей с началом \(O\) и делят плоскость на 10 углов. Обойдём их по кругу и обозначим \(\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{10}\).
- Угол \(\beta_k\) и угол \(\beta_{k+5}\) образованы продолжениями одних и тех же лучей, то есть они вертикальные и равны: \(\beta_6 = \beta_1\), …, \(\beta_{10} = \beta_5\).
- Пять соседних углов \(\beta_1, \dots, \beta_5\) заполняют развёрнутый угол между лучом и его продолжением, поэтому \(\beta_1 + \beta_2 + \beta_3 + \beta_4 + \beta_5 = 180^\circ\).
- На рисунке отмечено ровно по одному углу из каждой из пяти пар вертикальных углов (углы 5 и 1 сверху, 2 справа, 3 снизу, 4 слева). Заменив некоторые из них равными им вертикальными углами, получим пять соседних углов \(\beta_1, \dots, \beta_5\).
Значит, \(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 + \angle 5 = 180^\circ\).
Ответ
180°
Почему так
Отмеченные углы заменяют вертикальными и получают пять соседних углов, которые составляют развёрнутый угол.
Подробнее — в теме «Смежные и вертикальные углы».