Задача 1
Условие (кратко)
Шесть попарно пересекающихся прямых; через точку пересечения любых двух проходит ещё хотя бы одна из них. Доказать, что все прямые проходят через одну точку.
Решение
Дано: шесть различных прямых, любые две пересекаются; через точку пересечения любых двух проходит ещё хотя бы одна из данных прямых. Доказать: все шесть прямых проходят через одну точку.
- Возьмём любые две прямые \(a\) и \(b\), пусть \(A\) — их точка пересечения. По условию через \(A\) проходит ещё одна прямая \(c\). Итак, \(a\), \(b\), \(c\) проходят через \(A\). Остальные прямые обозначим \(d\), \(e\), \(f\).
- Докажем методом от противного, что \(d\) проходит через \(A\). Пусть это не так.
- Прямая \(d\) пересекает \(a\), \(b\), \(c\) в точках \(P\), \(Q\), \(R\). Эти точки различны: две из прямых \(a\), \(b\), \(c\) имеют единственную общую точку \(A\), а \(A\) не лежит на \(d\).
- Через точку \(P\) (пересечение \(a\) и \(d\)) проходит ещё одна из данных прямых. Это не \(b\) и не \(c\): они пересекают \(a\) только в точке \(A \ne P\). Значит, через \(P\) проходит \(e\) или \(f\). Так же через \(Q\) и через \(R\) проходит \(e\) или \(f\).
- Но каждая из прямых \(e\) и \(f\) пересекает прямую \(d\) лишь в одной точке. Двумя прямыми нельзя «обслужить» три разные точки \(P\), \(Q\), \(R\) прямой \(d\) — противоречие.
- Значит, \(d\) проходит через \(A\). Точно так же через \(A\) проходят \(e\) и \(f\).
Все шесть прямых проходят через точку \(A\).
Ответ
Утверждение доказано: все шесть прямых проходят через одну точку.
Почему так
Две прямые имеют не больше одной общей точки, поэтому прямая вне общей точки трёх прямых привела бы к нехватке прямых для трёх точек пересечения.
Подробнее — в теме «Точки, прямые, отрезки».