Задача 1
Условие (кратко)
Даны шесть точек; прямая через любые две из них содержит ещё хотя бы одну из данных точек. Доказать, что все точки лежат на одной прямой.
Решение
Дано: шесть точек; прямая через любые две из них содержит ещё хотя бы одну из данных точек. Доказать: все шесть точек лежат на одной прямой.
- Возьмём любые две точки и проведём через них прямую \(d\). По условию на ней есть ещё одна точка. Итак, на \(d\) лежат хотя бы три точки — \(A\), \(B\), \(C\). Вне \(d\) остаётся не больше трёх точек.
- Докажем методом от противного, что вне \(d\) точек нет. Пусть точка \(X\) не лежит на \(d\).
- Прямые \(XA\), \(XB\), \(XC\) различны: если бы, например, \(XA\) и \(XB\) совпали, то \(X\) лежала бы на прямой \(AB\), то есть на \(d\).
- По условию на прямой \(XA\) есть ещё одна данная точка, кроме \(X\) и \(A\). Она не лежит на \(d\): прямая \(XA\) пересекает \(d\) только в точке \(A\). Значит, это одна из точек вне \(d\), отличная от \(X\). Так же на \(XB\) и на \(XC\) есть такая точка.
- Но вне \(d\), кроме \(X\), не больше двух точек, а каждая из них лежит только на одной прямой, проходящей через \(X\) (через две точки проходит единственная прямая). Трём различным прямым \(XA\), \(XB\), \(XC\) их не хватит — противоречие.
- Значит, точек вне \(d\) нет.
Все шесть точек лежат на прямой \(d\).
Ответ
Утверждение доказано: все шесть точек лежат на одной прямой.
Почему так
Через две точки проходит только одна прямая, поэтому точке вне прямой не хватило бы других точек для трёх разных прямых.
Подробнее — в теме «Точки, прямые, отрезки».