Задача 1
Условие (кратко)
Точки C₁ и C₂ лежат по разные стороны от прямой AB, AC₁ = BC₂, ∠BAC₁ = ∠ABC₂. Доказать, что прямая C₁C₂ проходит через середину отрезка AB.
Решение
Дано: \(C_1\) и \(C_2\) по разные стороны от прямой \(AB\), \(AC_1 = BC_2\), \(\angle BAC_1 = \angle ABC_2\). Доказать: прямая \(C_1C_2\) проходит через середину \(AB\).
- Пусть \(O\) — середина отрезка \(AB\), \(AO = BO\). Соединим \(O\) с точками \(C_1\) и \(C_2\).
- Рассмотрим \(\triangle AOC_1\) и \(\triangle BOC_2\): \(AO = BO\), \(AC_1 = BC_2\) по условию, \(\angle OAC_1 = \angle OBC_2\) (это углы \(BAC_1\) и \(ABC_2\), ведь \(O\) лежит на отрезке \(AB\)). По первому признаку \(\triangle AOC_1 = \triangle BOC_2\), поэтому \(\angle AOC_1 = \angle BOC_2\).
- Продолжим луч \(OC_1\) за точку \(O\) — получим луч \(OM\). Угол \(BOM\) вертикален углу \(AOC_1\), значит, \(\angle BOM = \angle AOC_1 = \angle BOC_2\).
- Луч \(OM\) лежит по другую сторону от прямой \(AB\), чем \(C_1\), то есть по ту же сторону, что и \(C_2\). От луча \(OB\) в одну полуплоскость можно отложить только один угол данной величины, поэтому луч \(OC_2\) совпадает с лучом \(OM\).
- Значит, лучи \(OC_1\) и \(OC_2\) дополнительные, и точки \(C_1\), \(O\), \(C_2\) лежат на одной прямой.
Прямая \(C_1C_2\) проходит через середину \(O\) отрезка \(AB\).
Ответ
Утверждение доказано: прямая C₁C₂ проходит через середину AB.
Почему так
Треугольники AOC₁ и BOC₂ равны по первому признаку, поэтому углы при O равны и лучи OC₁ и OC₂ составляют прямую.
Подробнее — в теме «Первый признак равенства треугольников».