Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что треугольники равны, если угол, прилежащая к нему сторона и сумма двух других сторон одного равны соответственно таким же элементам другого.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\), \(\angle A = \angle A_1\), \(AC = A_1C_1\), \(AB + BC = A_1B_1 + B_1C_1\). Доказать: \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\).
- Продолжим сторону \(AB\) за точку \(B\) на отрезок \(BD = BC\), а сторону \(A_1B_1\) за точку \(B_1\) на отрезок \(B_1D_1 = B_1C_1\). Тогда \(AD = AB + BC = A_1B_1 + B_1C_1 = A_1D_1\).
- В \(\triangle ADC\) и \(\triangle A_1D_1C_1\): \(AD = A_1D_1\), \(AC = A_1C_1\), \(\angle DAC = \angle D_1A_1C_1\) (это углы \(A\) и \(A_1\)). По первому признаку они равны, поэтому \(\angle D = \angle D_1\) и \(\angle ACD = \angle A_1C_1D_1\).
- Треугольник \(BCD\) равнобедренный (\(BD = BC\)), поэтому \(\angle BCD = \angle D\). Так же \(\angle B_1C_1D_1 = \angle D_1\). Значит, \(\angle BCD = \angle B_1C_1D_1\).
- Точка \(B\) лежит на отрезке \(AD\), поэтому луч \(CB\) проходит внутри угла \(ACD\) и \(\angle ACB = \angle ACD - \angle BCD\). Так же \(\angle A_1C_1B_1 = \angle A_1C_1D_1 - \angle B_1C_1D_1\). Отсюда \(\angle ACB = \angle A_1C_1B_1\).
- В \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\): \(AC = A_1C_1\), \(\angle A = \angle A_1\), \(\angle C = \angle C_1\). По второму признаку \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\).
Ответ
Утверждение доказано: такие треугольники равны.
Почему так
Сумму сторон превращают в один отрезок, получают равные вспомогательные треугольники, а затем применяют второй признак равенства.
Подробнее — в теме «Второй признак равенства треугольников».