Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 421

Условие (кратко)

Сторона и два угла одного треугольника равны какой-то стороне и каким-то двум углам другого. Могут ли эти треугольники быть неравными?

Решение

Дано

сторона и два угла одного треугольника равны какой-то стороне и каким-то двум углам другого

Найти

Второй признак требует, чтобы равные углы были прилежащими к равной стороне. Если это не так, треугольники могут оказаться разными. Пример.

Возьмём равнобедренный $\triangle ABC$ с основанием $$AB$$ : $\angle A = \angle B = 70^\circ$ , тогда $\angle C = 40^\circ$ .
На стороне $$BC$$ отметим точку $$D$$ так, что $$AD = AB$$ . Треугольник $$ABD$$ равнобедренный, поэтому $\angle ADB = \angle ABD = 70^\circ$ , а $\angle BAD = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$ . Так как $40^\circ < 70^\circ = \angle BAC$ , луч $$AD$$ проходит внутри угла $$BAC$$ и точка $$D$$ действительно лежит на стороне $$BC$$ .
У треугольников $$ABC$$ и $$ABD$$ общая сторона $$AB$$ и есть два равных угла по $70^\circ$ ( $\angle A$ , $\angle B$ в первом; $\angle B$ , $\angle D$ во втором).
Но треугольники не равны: $$BD < BC$$ , ведь $$D$$ — внутренняя точка стороны $$BC$$ ; кроме того, в $\triangle ABC$ сторона $$AB$$ лежит между углами $70^\circ$ и $70^\circ$ , а в $\triangle ABD$ — между углами $40^\circ$ и $70^\circ$ .

Ответ

Могут. Например, равнобедренный △ABC с основанием AB (∠A = ∠B = 70°) и △ABD, где D на стороне BC и AD = AB.

Почему так

Второй признак требует, чтобы равные углы прилежали к равной стороне; без этого треугольники могут различаться.

Задание 421