Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 423

Условие (кратко)

Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, AC = AO = BO = BD. Доказать, что OC = OD.

Решение

Дано: отрезки $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$O$$ , $$AC = AO = BO = BD$$ . Доказать: $$OC = OD$$ .

В $\triangle AOC$ стороны $$AC = AO$$ , он равнобедренный с основанием $$OC$$ , поэтому $\angle ACO = \angle AOC$ .
В $\triangle BOD$ стороны $$BO = BD$$ , он равнобедренный с основанием $$OD$$ , поэтому $\angle BDO = \angle BOD$ .
Углы $$AOC$$ и $$BOD$$ вертикальные, значит, $\angle AOC = \angle BOD$ . Из пунктов 1 и 2 получаем $\angle ACO = \angle BDO$ .
Сравним $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$ : $$AO = BO$$ , $\angle AOC = \angle BOD$ , $\angle ACO = \angle BDO$ . Сторона $$AO$$ прилежит к углу $$O$$ и лежит против угла $$C$$ , сторона $$BO$$ — к углу $$O$$ и против угла $$D$$ . Треугольники равны по стороне, прилежащему и противолежащему углам (задача 179; когда будет известна сумма углов треугольника, это сразу следует из второго признака: третьи углы $$A$$ и $$B$$ тоже равны).
В равных треугольниках против равных углов $$A$$ и $$B$$ лежат равные стороны: $$OC = OD$$ .

Ответ

Утверждение доказано: OC = OD.

Почему так

Два равнобедренных треугольника с вертикальными углами при вершине O оказываются равными по стороне и двум углам.

Задание 423