Задача 1
Условие (кратко)
Прямые, содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах B и C треугольника ABC, пересекаются в точке O. Найти угол BOC, если ∠A = α.
Решение
Дано
- \(\triangle ABC\)
- \(\angle A = \alpha\)
- \(BO\) и \(CO\) — биссектрисы внешних углов при вершинах \(B\) и \(C\)
Найти
- \(\angle BOC\)
- Внешний угол при вершине \(B\) смежен с углом \(B\) треугольника, поэтому равен \(180^\circ - \angle B\). Биссектриса делит его пополам: \(\angle OBC = 90^\circ - \dfrac{\angle B}{2}\).
- Так же \(\angle OCB = 90^\circ - \dfrac{\angle C}{2}\).
- Точка \(O\) лежит по другую сторону от \(BC\), чем \(A\), и в \(\triangle BOC\) по теореме о сумме углов:
\[\angle BOC = 180^\circ - \left(90^\circ - \dfrac{\angle B}{2}\right) - \left(90^\circ - \dfrac{\angle C}{2}\right) = \dfrac{\angle B + \angle C}{2}.\]
- В \(\triangle ABC\) сумма углов \(180^\circ\), поэтому \(\angle B + \angle C = 180^\circ - \alpha\) и
\[\angle BOC = \dfrac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \dfrac{\alpha}{2}.\]
Проверка: при \(\alpha = 60^\circ\) получаем \(\angle BOC = 60^\circ\).
Ответ
∠BOC = 90° − α/2
Почему так
Половины внешних углов при B и C выражаются через углы треугольника, а дальше дважды работает теорема о сумме углов.
Подробнее — в теме «Сумма углов треугольника».