Задание 425

Дано: \(\triangle ABC\) с углами \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\); через каждую вершину проведена прямая, перпендикулярная биссектрисе из этой вершины. Доказать: у трёх образовавшихся треугольников углы соответственно равны.

1. Прямая через \(A\), перпендикулярная биссектрисе угла \(A\), — биссектриса внешнего угла при вершине \(A\). Действительно, биссектриса делит угол \(A\) на два по \(\dfrac{\alpha}{2}\), прямая образует с ней \(90^\circ\), значит, со стороной \(AB\) — угол \(90^\circ - \dfrac{\alpha}{2}\), а с продолжением стороны \(AC\) — угол \(180^\circ - 90^\circ - \dfrac{\alpha}{2} = 90^\circ - \dfrac{\alpha}{2}\). Внешний угол \(180^\circ - \alpha\) разделён пополам. Так же и при вершинах \(B\) и \(C\).
2. Пусть прямые, проведённые через \(A\) и \(B\), пересекаются в точке \(K\) (по другую сторону от \(AB\), чем \(C\)). В \(\triangle ABK\): \(\angle KAB = 90^\circ - \dfrac{\alpha}{2}\), \(\angle KBA = 90^\circ - \dfrac{\beta}{2}\) — половины внешних углов.
3. По теореме о сумме углов \(\angle AKB = 180^\circ - \left(90^\circ - \dfrac{\alpha}{2}\right) - \left(90^\circ - \dfrac{\beta}{2}\right) = \dfrac{\alpha + \beta}{2} = \dfrac{180^\circ - \gamma}{2} = 90^\circ - \dfrac{\gamma}{2}\) (как в задаче 424).
4. Итак, углы треугольника \(ABK\): \(90^\circ - \dfrac{\alpha}{2}\), \(90^\circ - \dfrac{\beta}{2}\), \(90^\circ - \dfrac{\gamma}{2}\).
5. Точно так же для треугольника, построенного на стороне \(BC\), и для треугольника на стороне \(CA\) получаются те же три угла: при двух вершинах исходного треугольника — половины внешних углов, при третьей вершине — \(90^\circ\) минус половина противолежащего угла.

Значит, углы трёх треугольников соответственно равны: каждый имеет углы \(90^\circ - \dfrac{\alpha}{2}\), \(90^\circ - \dfrac{\beta}{2}\), \(90^\circ - \dfrac{\gamma}{2}\).