Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что угол треугольника острый, прямой или тупой, если медиана из его вершины соответственно больше, равна или меньше половины противоположной стороны.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(CM\) — медиана, \(AM = MB = \dfrac{1}{2}AB\). Доказать: если \(CM > \dfrac{1}{2}AB\), то \(\angle C\) острый; если \(CM = \dfrac{1}{2}AB\) — прямой; если \(CM < \dfrac{1}{2}AB\) — тупой.
- Пусть \(CM > \dfrac{1}{2}AB\), то есть \(CM > AM\) и \(CM > MB\).
- В \(\triangle AMC\) против большей стороны лежит больший угол: \(CM > AM\), поэтому \(\angle A > \angle ACM\). Так же в \(\triangle BMC\): \(CM > MB\), поэтому \(\angle B > \angle BCM\).
- Луч \(CM\) лежит внутри угла \(C\), поэтому \(\angle ACM + \angle BCM = \angle C\). Сложив неравенства, получим \(\angle A + \angle B > \angle C\).
- По теореме о сумме углов \(\angle A + \angle B = 180^\circ - \angle C\), значит, \(180^\circ - \angle C > \angle C\), \(\angle C < 90^\circ\) — угол острый.
- Если \(CM = \dfrac{1}{2}AB\), то треугольники \(AMC\) и \(BMC\) равнобедренные: \(\angle A = \angle ACM\), \(\angle B = \angle BCM\). Тогда \(\angle A + \angle B = \angle C\), и \(2\angle C = 180^\circ\), \(\angle C = 90^\circ\).
- Если \(CM < \dfrac{1}{2}AB\), то, как в пункте 2, \(\angle A < \angle ACM\), \(\angle B < \angle BCM\), откуда \(\angle A + \angle B < \angle C\) и \(\angle C > 90^\circ\) — угол тупой.
Ответ
Утверждение доказано: угол острый, прямой или тупой, когда медиана больше, равна или меньше половины противоположной стороны.
Почему так
Сравнение медианы с половинами стороны даёт сравнение углов по теореме о большей стороне, а сумма углов треугольника превращает его в сравнение с 90°.
Подробнее — в теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника».