Задача 1
Условие (кратко)
Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием BC взята точка M, ∠MBC = 30°, ∠MCB = 10°, ∠BAC = 80°. Найти угол AMC.
Решение
Дано
- \(\triangle ABC\)
- \(AB = AC\)
- \(\angle BAC = 80^\circ\)
- \(M\) внутри треугольника
- \(\angle MBC = 30^\circ\)
- \(\angle MCB = 10^\circ\)
Найти
- \(\angle AMC\)
- Углы при основании: \(\angle B = \angle C = \dfrac{180^\circ - 80^\circ}{2} = 50^\circ\).
- Биссектриса угла \(A\) равнобедренного треугольника — его медиана и высота, то есть она лежит на серединном перпендикуляре к \(BC\). Пусть \(O\) — точка пересечения этой биссектрисы с прямой \(BM\). Точка \(O\) равноудалена от \(B\) и \(C\): \(OB = OC\), поэтому \(\angle OCB = \angle OBC = 30^\circ\).
- Так как \(\angle MCB = 10^\circ < 30^\circ = \angle OCB\), точка \(M\) лежит на отрезке \(BO\) (между \(B\) и \(O\)).
- Углы при точке \(C\): \(\angle ACO = 50^\circ - 30^\circ = 20^\circ\), \(\angle MCO = 30^\circ - 10^\circ = 20^\circ\).
- Углы при точке \(O\): в \(\triangle BOC\) \(\angle BOC = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ\), и \(\angle MOC = \angle BOC = 120^\circ\), так как \(M\) лежит на луче \(OB\). В \(\triangle AOC\): \(\angle OAC = 40^\circ\) (половина угла \(A\)), поэтому \(\angle AOC = 180^\circ - 40^\circ - 20^\circ = 120^\circ\).
- Треугольники \(AOC\) и \(MOC\): сторона \(OC\) общая, \(\angle ACO = \angle MCO = 20^\circ\), \(\angle AOC = \angle MOC = 120^\circ\). По второму признаку они равны, поэтому \(CA = CM\).
- Треугольник \(ACM\) равнобедренный, \(\angle ACM = \angle ACB - \angle MCB = 50^\circ - 10^\circ = 40^\circ\). Углы при основании \(AM\): \(\angle AMC = \dfrac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ\).
Ответ
∠AMC = 70°
Почему так
Вспомогательная точка на оси симметрии даёт два равных треугольника, откуда CA = CM, а дальше работает сумма углов равнобедренного треугольника.
Подробнее — в теме «Сумма углов треугольника».