Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что любой отрезок с концами на разных сторонах треугольника не больше наибольшей из сторон треугольника.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), точки \(P\) и \(Q\) лежат на разных сторонах. Доказать: \(PQ\) не больше наибольшей из сторон \(AB\), \(BC\), \(CA\).
Воспользуемся задачей 321: отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, меньше большей из двух других сторон (если точка совпадает с концом стороны, отрезок равен этой стороне, то есть не больше большей из них).
- Две стороны треугольника имеют общую вершину; пусть \(P\) лежит на \(AB\), \(Q\) — на \(AC\). Если \(P = A\), то \(PQ = AQ \le AC\) и всё доказано; так же при \(Q = A\). Пусть дальше \(P \ne A\), \(Q \ne A\).
- Соединим \(P\) с вершиной \(C\). В треугольнике \(APC\) отрезок \(PQ\) соединяет вершину \(P\) с точкой \(Q\) стороны \(AC\), поэтому \(PQ\) не больше большего из отрезков \(PA\) и \(PC\).
- \(PA \le AB\), так как \(P\) лежит на отрезке \(AB\).
- В треугольнике \(ABC\) отрезок \(CP\) соединяет вершину \(C\) с точкой \(P\) стороны \(AB\), поэтому \(PC\) не больше большей из сторон \(CA\) и \(CB\).
- Итак, \(PQ\) не больше одного из чисел \(PA\), \(PC\), а каждое из них не больше одной из сторон треугольника. Значит, \(PQ\) не больше наибольшей стороны.
Ответ
Утверждение доказано: такой отрезок не больше наибольшей стороны треугольника.
Почему так
Дважды применяется утверждение, что отрезок из вершины к противоположной стороне меньше большей из двух других сторон.
Подробнее — в теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника».