Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 430

Условие (кратко)

Отрезок BB₁ — биссектриса треугольника ABC. Доказать, что BA > B₁A и BC > B₁C.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $$BB_1$$ — биссектриса, $\angle ABB_1 = \angle CBB_1$ . Доказать: $$BA > B_1A$$ , $$BC > B_1C$$ .

Угол $$BB_1A$$ — внешний угол треугольника $$BB_1C$$ при вершине $$B_1$$ , поэтому он больше угла $$B_1BC$$ этого треугольника, не смежного с ним (задача 178 или теорема о внешнем угле).
Так как $\angle B_1BC = \angle ABB_1$ , получаем $\angle BB_1A > \angle ABB_1$ .
В треугольнике $$ABB_1$$ против большего угла лежит большая сторона: против $\angle BB_1A$ лежит $$BA$$ , против $\angle ABB_1$ — $$B_1A$$ . Значит, $$BA > B_1A$$ .
Так же угол $$BB_1C$$ — внешний угол треугольника $$ABB_1$$ , поэтому $\angle BB_1C > \angle ABB_1 = \angle CBB_1$ . В треугольнике $$CBB_1$$ против $\angle BB_1C$ лежит $$BC$$ , против $\angle CBB_1$ — $$B_1C$$ , поэтому $$BC > B_1C$$ .

Ответ

Утверждение доказано: BA > B₁A и BC > B₁C.

Почему так

Внешний угол больше не смежного с ним угла, а в треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Задание 430