Задача 1
Условие (кратко)
Внутри треугольника ABC взята точка D, AD = AB. Доказать, что AC > AB.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), точка \(D\) внутри него, \(AD = AB\). Доказать: \(AC > AB\).
- Продолжим отрезок \(AD\) за точку \(D\) до пересечения со стороной \(BC\) в точке \(E\) (луч \(AD\) проходит внутри угла \(A\), поэтому пересекает отрезок \(BC\)). Точка \(D\) лежит внутри треугольника, поэтому между \(A\) и \(E\), и \(AE > AD = AB\).
- Отрезок \(AE\) соединяет вершину \(A\) с точкой стороны \(BC\). По задаче 321 он меньше большей из сторон \(AB\) и \(AC\).
- Если бы \(AC \le AB\), то большей была бы сторона \(AB\) и было бы \(AE < AB\) — это противоречит пункту 1.
- Значит, \(AC > AB\), причём большая сторона — \(AC\), и \(AC > AE > AB\).
Ответ
Утверждение доказано: AC > AB.
Почему так
Продолжение AD до стороны BC даёт отрезок длиннее AB, а он меньше большей из сторон AB и AC.
Подробнее — в теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника».