Задача 1
Условие (кратко)
В треугольнике ABC сторона AB больше AC, AD — биссектриса. Доказать, что ∠ADB > ∠ADC и BD > CD.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(AB > AC\), \(AD\) — биссектриса. Доказать: \(\angle ADB > \angle ADC\), \(BD > CD\).
- Отметим на стороне \(AB\) точку \(C_1\) так, что \(AC_1 = AC\). Так как \(AC < AB\), точка \(C_1\) лежит между \(A\) и \(B\).
- Треугольники \(ADC_1\) и \(ADC\): \(AC_1 = AC\), \(AD\) общая, \(\angle C_1AD = \angle CAD\) (\(AD\) — биссектриса). По первому признаку они равны: \(DC_1 = DC\), \(\angle ADC_1 = \angle ADC\), \(\angle AC_1D = \angle ACD = \angle C\).
- Точка \(C_1\) лежит на отрезке \(AB\), поэтому луч \(DC_1\) проходит внутри угла \(ADB\) и \(\angle ADB = \angle ADC_1 + \angle C_1DB > \angle ADC_1 = \angle ADC\).
- В треугольнике \(BC_1D\) угол \(BC_1D\) смежен с углом \(AC_1D\): \(\angle BC_1D = 180^\circ - \angle C\). Так как \(\angle B + \angle C < 180^\circ\), то \(\angle BC_1D > \angle B = \angle C_1BD\).
- Против большего угла лежит большая сторона: \(BD > C_1D = CD\).
Ответ
Утверждение доказано: ∠ADB > ∠ADC и BD > CD.
Почему так
Точка C₁ с AC₁ = AC даёт треугольник, равный ADC, а сравнение углов треугольника BC₁D даёт BD > CD.
Подробнее — в теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника».