Задача 1
Условие (кратко)
Доказать теорему «Если в треугольнике биссектриса является медианой, то треугольник равнобедренный».
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(AD\) — биссектриса и медиана, \(BD = CD\). Доказать: \(AB = AC\).
Докажем методом от противного.
- Пусть \(AB \ne AC\); для определённости \(AB > AC\) (иначе поменяем буквы \(B\) и \(C\)).
- По задаче 432 биссектриса \(AD\) треугольника, в котором \(AB > AC\), делит сторону \(BC\) так, что \(BD > CD\).
- Но \(AD\) — медиана, то есть \(BD = CD\). Противоречие.
- Значит, предположение неверно и \(AB = AC\) — треугольник равнобедренный.
Другой способ: продлить медиану \(AD\) за точку \(D\) на отрезок \(DE = AD\). Тогда \(\triangle ABD = \triangle ECD\) (первый признак), откуда \(EC = AB\) и \(\angle CEA = \angle BAD = \angle CAD\). Треугольник \(ACE\) равнобедренный: \(AC = EC = AB\).
Ответ
Утверждение доказано: треугольник равнобедренный.
Почему так
Если бы боковые стороны были не равны, биссектриса разделила бы противоположную сторону на неравные части и не была бы медианой.
Подробнее — в теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника».