Задача 1
Условие (кратко)
Две стороны треугольника не равны. Доказать, что медиана из их общей вершины составляет с меньшей из сторон больший угол.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(AB > BC\), \(BM\) — медиана, \(AM = MC\). Доказать: \(\angle MBC > \angle MBA\).
- Продолжим медиану \(BM\) за точку \(M\) на отрезок \(ME = BM\), так что \(M\) — середина \(BE\).
- Треугольники \(AME\) и \(CMB\): \(AM = CM\), \(ME = MB\), \(\angle AME = \angle CMB\) (вертикальные). По первому признаку они равны, поэтому \(AE = CB\) и \(\angle AEM = \angle CBM\).
- Рассмотрим треугольник \(ABE\): \(AB > BC = AE\). Против большей стороны лежит больший угол: против \(AB\) лежит \(\angle AEB\), против \(AE\) — \(\angle ABE\). Значит, \(\angle AEB > \angle ABE\).
- Но \(\angle AEB = \angle CBM\), а \(\angle ABE = \angle ABM\). Получаем \(\angle CBM > \angle ABM\).
Медиана составляет больший угол с меньшей стороной \(BC\).
Ответ
Утверждение доказано: медиана образует больший угол с меньшей стороной.
Почему так
Удвоение медианы переносит меньшую сторону в треугольник ABE, где против большей стороны лежит больший угол.
Подробнее — в теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника».