Задача 1
Условие (кратко)
В треугольнике ABC стороны AB и AC не равны, M — произвольная точка стороны BC. Доказать, что треугольники AMB и AMC не равны.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(AB \ne AC\), \(M\) — точка стороны \(BC\), отличная от \(B\) и \(C\). Доказать: \(\triangle AMB \ne \triangle AMC\).
Будем пользоваться задачей 178 (теоремой о внешнем угле): внешний угол треугольника больше каждого угла, не смежного с ним.
- Углы \(AMB\) и \(AMC\) смежные: \(\angle AMB + \angle AMC = 180^\circ\). Предположим, что треугольники \(AMB\) и \(AMC\) равны (при каком-то соответствии вершин). Тогда у них одинаковые наборы углов и против равных углов лежат равные стороны.
- Случай \(\angle AMB = \angle AMC = 90^\circ\). В каждом треугольнике один прямой угол, поэтому прямые углы соответствуют друг другу, и стороны против них — \(AB\) и \(AC\) — равны. Это противоречит условию \(AB \ne AC\).
- Случай, когда углы при \(M\) не прямые; пусть, например, \(\angle AMB > 90^\circ\), тогда \(\angle AMC < 90^\circ\). Тупой угол треугольника \(AMB\) должен быть равен какому-то углу треугольника \(AMC\), то есть \(\angle MAC\) или \(\angle C\) (угол \(AMC\) острый).
- Но \(\angle AMB\) — внешний угол треугольника \(AMC\) при вершине \(M\), поэтому \(\angle AMB > \angle MAC\) и \(\angle AMB > \angle C\). Противоречие. Случай \(\angle AMC > 90^\circ\) разбирается так же.
- Значит, треугольники \(AMB\) и \(AMC\) не равны.
Ответ
Утверждение доказано: треугольники AMB и AMC не равны.
Почему так
Внешний угол больше не смежных с ним углов, поэтому тупому углу одного треугольника нечему соответствовать в другом, а при прямых углах получилось бы AB = AC.
Подробнее — в теме «Сумма углов треугольника».