Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 437

Условие (кратко)

В треугольнике ABC сторона AB меньше AC, AD — биссектриса, AH — высота. Докажите, что точка H лежит на луче DB.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $$AB < AC$$ , $$AD$$ — биссектриса, $$AH$$ — высота. Доказать: точка $$H$$ лежит на луче $$DB$$ .

Сравним углы $$ADB$$ и $$ADC$$ . Угол $$ADC$$ — внешний угол треугольника $$ABD$$ , поэтому $\angle ADC = \angle BAD + \angle B$ . Угол $$ADB$$ — внешний угол треугольника $$ADC$$ , поэтому $\angle ADB = \angle DAC + \angle C$ .
$\angle BAD = \angle DAC$ , так как $$AD$$ — биссектриса. В треугольнике $$ABC$$ против большей стороны лежит больший угол: $$AC > AB$$ , значит, $\angle B > \angle C$ . Поэтому $\angle ADC > \angle ADB$ .
Углы $$ADB$$ и $$ADC$$ смежные, их сумма $180^\circ$ . Раз $\angle ADC > \angle ADB$ , то $\angle ADB < 90^\circ$ , а $\angle ADC > 90^\circ$ — тупой.
Высота $$AH$$ — перпендикуляр к прямой $$BC$$ , точка $$H$$ лежит на этой прямой. Если бы $$H$$ совпала с $$D$$ , угол $$ADB$$ был бы прямым — но он острый. Если бы $$H$$ лежала на луче $$DC$$ (и $H \ne D$ ), то в треугольнике $$ADH$$ угол $$H$$ был бы прямым, а угол $ADH = \angle ADC$ — тупым. В треугольнике не может быть прямого и тупого угла одновременно (их сумма уже больше $180^\circ$ ).
Значит, $$H$$ лежит на луче $$DB$$ (и не совпадает с $$D$$ ). Отметим: $$H$$ может оказаться и за точкой $$B$$ , если угол $$B$$ тупой, — это тоже точка луча $$DB$$ .

Ответ

Утверждение доказано, H лежит на луче DB

Почему так

Против большей стороны лежит больший угол, поэтому угол ADC тупой, а перпендикуляр из A падает на прямую BC по другую сторону от D.

Подробнее — в теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника».

Задание 437

Задача 1