Задача 1
Докажите, что в неравнобедренном треугольнике основание биссектрисы лежит между основаниями медианы и высоты, проведённых из той же вершины.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(AB \ne AC\); \(AD\) — биссектриса, \(AM\) — медиана, \(AH\) — высота. Доказать: точка \(D\) лежит между \(H\) и \(M\).
Пусть для определённости \(AB < AC\).
-
Высота. Как в задаче 437: углы \(ADC\) и \(ADB\) — внешние углы треугольников \(ABD\) и \(ADC\), \(\angle ADC = \angle BAD + \angle B\), \(\angle ADB = \angle DAC + \angle C\), \(\angle BAD = \angle DAC\), а \(\angle B > \angle C\) (против большей стороны \(AC\) лежит больший угол). Значит, \(\angle ADC > \angle ADB\), угол \(ADB\) острый, \(ADC\) тупой. Перпендикуляр \(AH\) не может упасть на луч \(DC\) (в треугольнике \(ADH\) были бы прямой и тупой углы) и не совпадает с \(AD\). Итак, \(H\) лежит на луче \(DB\), \(H \ne D\).
-
Медиана составляет с меньшей стороной больший угол: \(\angle BAM > \angle MAC\). Докажем. Продолжим \(AM\) за точку \(M\) на отрезок \(ME = AM\). Треугольники \(AMB\) и \(EMC\) равны по двум сторонам и углу между ними (\(BM = MC\), \(AM = ME\), углы при \(M\) вертикальные). Отсюда \(CE = AB\) и \(\angle CEM = \angle BAM\). В треугольнике \(AEC\) сторона \(AC > AB = CE\), поэтому угол против \(AC\) больше угла против \(CE\): \(\angle AEC > \angle CAE\), то есть \(\angle BAM > \angle MAC\).
-
Значит, \(\angle BAM > \dfrac{1}{2}\angle A = \angle BAD\). Точки \(D\) и \(M\) лежат на отрезке \(BC\), и луч \(AD\) проходит внутри угла \(BAM\). Поэтому \(D\) лежит на отрезке \(BM\) и \(D \ne M\), то есть \(M\) лежит на луче \(DC\).
-
Точка \(H\) — на луче \(DB\), точка \(M\) — на противоположном луче \(DC\), обе отличны от \(D\). Следовательно, \(D\) лежит между \(H\) и \(M\).
Ответ
Высота отклоняется от биссектрисы к меньшей стороне, а медиана — к большей, потому что медиана образует больший угол с меньшей стороной.
Подробнее — в теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника».