Задача 1
Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит пополам угол между высотой и медианой, проведёнными из той же вершины.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(AC \ne BC\); \(CH\) — высота, \(CL\) — биссектриса, \(CM\) — медиана. Доказать: \(\angle HCL = \angle LCM\).
Пусть \(BC < AC\); тогда \(\angle A < \angle B\) (против меньшей стороны меньший угол), и так как \(\angle A + \angle B = 90^\circ\), то \(\angle A < 45^\circ\).
-
Медиана к гипотенузе равна её половине. Продолжим \(CM\) за \(M\) на отрезок \(MD = CM\). Треугольники \(AMC\) и \(BMD\) равны по двум сторонам и углу между ними (\(AM = MB\), \(CM = MD\), углы при \(M\) вертикальные), поэтому \(BD = AC\) и \(\angle MBD = \angle MAC\). Эти углы накрест лежащие при прямых \(AC\), \(BD\) и секущей \(AB\), значит, \(BD \parallel AC\), и так как \(AC \perp BC\), то \(BD \perp BC\). Прямоугольные треугольники \(ACB\) и \(DBC\) равны по двум катетам (\(AC = BD\), \(BC\) — общий), поэтому \(CD = AB\) и \(CM = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{1}{2}AB = AM\).
-
Треугольник \(AMC\) равнобедренный (\(AM = CM\)), поэтому \(\angle ACM = \angle A\).
-
В прямоугольном треугольнике \(CHB\) \(\angle BCH = 90^\circ - \angle B = \angle A\).
-
Биссектриса прямого угла: \(\angle BCL = \angle ACL = 45^\circ\). Так как \(\angle BCH = \angle A < 45^\circ\), луч \(CH\) лежит внутри угла \(BCL\); так как \(\angle ACM = \angle A < 45^\circ\), луч \(CM\) лежит внутри угла \(ACL\).
-
Тогда \(\angle HCL = 45^\circ - \angle A\) и \(\angle LCM = 45^\circ - \angle A\), то есть \(\angle HCL = \angle LCM\). Угол не нулевой, так как катеты не равны и \(\angle A \ne 45^\circ\).
Ответ
Высота и медиана образуют с катетами равные углы, равные меньшему острому углу треугольника, поэтому они симметричны относительно биссектрисы прямого угла.
Подробнее — в теме «Свойства и признаки прямоугольных треугольников».