Задача 1
Медиана и высота треугольника, проведённые из одной вершины, делят угол при этой вершине на три равные части. Докажите, что треугольник прямоугольный.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(AH\) — высота, \(AM\) — медиана, \(\angle BAH = \angle HAM = \angle MAC = \alpha\). Доказать: \(\angle A = 90^\circ\).
-
В треугольнике \(ABM\) отрезок \(AH\) — и высота, и биссектриса. Прямоугольные треугольники \(ABH\) и \(AMH\) равны (катет \(AH\) общий, острые углы при \(A\) равны), поэтому \(BH = HM\). Так как \(M\) — середина \(BC\), \(HM = \dfrac{1}{2}BM = \dfrac{1}{2}MC\).
-
Проведём \(MD \perp AC\). В треугольнике \(AMC\) угол \(AMC\) смежен с острым углом \(AMH = 90^\circ - \alpha\), значит, он тупой; поэтому углы \(A\) и \(C\) этого треугольника острые и точка \(D\) лежит на отрезке \(AC\).
-
Прямоугольные треугольники \(AHM\) и \(ADM\) равны по гипотенузе и острому углу (\(AM\) — общая, \(\angle HAM = \angle DAM = \alpha\)). Значит, \(MD = MH = \dfrac{1}{2}MC\).
-
В прямоугольном треугольнике \(MDC\) катет \(MD\) равен половине гипотенузы \(MC\), поэтому противолежащий ему угол \(C\) равен \(30^\circ\).
-
В прямоугольном треугольнике \(AHC\): \(\angle HAC + \angle C = 90^\circ\), то есть \(2\alpha + 30^\circ = 90^\circ\), \(\alpha = 30^\circ\). Тогда \(\angle A = 3\alpha = 90^\circ\).
Ответ
Перпендикуляр из середины стороны оказывается вдвое короче отрезка MC, а катет, равный половине гипотенузы, лежит против угла 30°.
Подробнее — в теме «Свойства и признаки прямоугольных треугольников».