Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 441

Задача 1

Условие (кратко)

В треугольнике ABC высота AA₁ не меньше стороны BC, а высота BB₁ не меньше стороны AC. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный и прямоугольный.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $AA_1 \perp BC$ , $BB_1 \perp AC$ , $AA_1 \ge BC$ , $BB_1 \ge AC$ . Доказать: $$AC = BC$$ и $\angle C = 90^\circ$ .

Перпендикуляр не длиннее наклонной: если $A_1 \ne C$ , то в прямоугольном треугольнике $$AA_1C$$ гипотенуза $$AC$$ больше катета $$AA_1$$ ; если $$A_1 = C$$ , то $$AA_1 = AC$$ . В любом случае $AA_1 \le AC$ , и равенство только при $$A_1 = C$$ . Так же $BB_1 \le BC$ .
Составим цепочку: $BC \le AA_1 \le AC \le BB_1 \le BC$ .
Крайние члены совпадают, значит, все неравенства — равенства: $$AA_1 = AC$$ и $$AC = BC$$ .
Из $$AA_1 = AC$$ следует $$A_1 = C$$ , то есть $AC \perp BC$ и $\angle C = 90^\circ$ . Вместе с $$AC = BC$$ получаем: треугольник равнобедренный прямоугольный.

Ответ

Утверждение доказано, AC = BC и ∠C = 90°

Почему так

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета, поэтому высота не длиннее стороны, и цепочка неравенств замыкается только равенствами.

Подробнее — в теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).