Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 442

Условие (кратко)

Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, проведённой к третьей стороне (в учебнике разобран образец решения).

Решение

Даны отрезки $$b$$ , $$c$$ (стороны $$AC$$ и $$AB$$ ) и $$h$$ (высота $$AH$$ к стороне $$BC$$ ).

Анализ. В искомом треугольнике $$ABH$$ — прямоугольный: гипотенуза $$AB = c$$ , катет $$AH = h$$ . Построим его, а затем найдём $$C$$ на прямой $$BH$$ так, что $$AC = b$$ .

Построение.

Строим прямой угол с вершиной $$H$$ ; на одной стороне откладываем $$HA = h$$ .
Окружность с центром $$A$$ радиуса $$c$$ пересекает другую сторону угла в точке $$B$$ (при $$c > h$$ ).
Окружность с центром $$A$$ радиуса $$b$$ пересекает прямую $$BH$$ в точках $$C$$ и $$C_1$$ ; берём любую из них, отличную от $$B$$ .
Проводим $$AC$$ и $$BC$$ .

Доказательство. $$AB = c$$ , $$AC = b$$ по построению, $AH \perp BC$ и $$AH = h$$ , значит, $$AH$$ — высота треугольника $$ABC$$ .

Исследование. Наклонная не короче перпендикуляра, поэтому нужно $b \ge h$ и $c \ge h$ .

$$b < h$$ или $$c < h$$ — решений нет.
$$b = c = h$$ — нет: точки $$B$$ и $$C$$ обе совпали бы с $$H$$ .
$$c > h$$ , $$b = h$$ (или наоборот) — одно решение: $$C = H$$ , треугольник прямоугольный.
$$b = c > h$$ — одно решение: вторая точка пересечения совпадает с $$B$$ , треугольник равнобедренный.
$$b > h$$ , $$c > h$$ , $b \ne c$ — два решения: точки $$C$$ и $$C_1$$ по разные стороны от $$H$$ дают неравные треугольники $$ABC$$ и $$ABC_1$$ .

Ответ

Решений два, одно или ни одного: два при b > h, c > h, b ≠ c; одно при b = c > h или когда одна сторона равна h, а другая больше; нет при b < h, c < h или b = c = h

Почему так

Сторона и высота образуют прямоугольный треугольник, а третья вершина лежит на прямой BH на заданном расстоянии от A.

Подробнее — в теме «Построение треугольника по трём элементам».

Задание 442

Задача 1