Задача 1
Постройте прямоугольный треугольник ABC, если даны острый угол B и биссектриса BD.
Решение
Даны острый угол \(\beta\) и отрезок \(l\). Нужно построить \(\triangle ABC\) с \(\angle C = 90^\circ\), \(\angle B = \beta\) и биссектрисой \(BD = l\) (\(D\) на катете \(AC\)).
Анализ. Треугольник \(BCD\) прямоугольный: гипотенуза \(BD = l\), острый угол \(CBD = \dfrac{\beta}{2}\). Построив его, найдём \(A\) на прямой \(CD\).
Построение.
- Строим угол \(XBY\), равный \(\beta\), и его биссектрису.
- На биссектрисе откладываем \(BD = l\).
- Из \(D\) опускаем перпендикуляр \(DC\) на луч \(BX\).
- Прямая \(CD\) пересекает луч \(BY\) в точке \(A\). Треугольник \(ABC\) — искомый.
Почему точка \(A\) существует. Прямая \(CD\) перпендикулярна \(BX\). Если бы \(BY \parallel CD\), то и \(BY \perp BX\), а угол \(\beta\) острый. Значит, прямые пересекаются. Точка пересечения лежит на луче \(BY\), а не на продолжении: иначе в треугольнике с вершинами \(B\), \(C\) и этой точкой был бы прямой угол при \(C\) и тупой угол \(180^\circ - \beta\) при \(B\).
Доказательство. \(\angle C = 90^\circ\), \(\angle B = \beta\); \(D\) лежит внутри угла \(B\) на прямой \(AC\), то есть на отрезке \(AC\), и \(\angle CBD = \angle DBA\), значит, \(BD\) — биссектриса, \(BD = l\).
Исследование. Построение выполнимо при любом остром угле и любом отрезке, и каждый шаг даёт единственную точку, поэтому решение всегда одно.
Ответ
Сначала строится прямоугольный треугольник BCD по гипотенузе BD и острому углу, равному половине угла B.
Подробнее — в теме «Построение треугольника по трём элементам».