Задача 1
Дана окружность с центром O и точка A вне её. Проведите через A прямую, пересекающую окружность в точках B и C так, что AB = BC.
Решение
Дано: окружность с центром \(O\) радиуса \(R\), точка \(A\), \(OA > R\). Построить прямую через \(A\), пересекающую окружность в \(B\) и \(C\), \(AB = BC\).
Анализ. Пусть прямая построена, \(B\) — середина \(AC\). Отметим точку \(D\), для которой \(B\) — середина \(OD\). Треугольники \(ABD\) и \(CBO\) равны по двум сторонам и углу между ними (\(AB = BC\), \(BD = BO\), углы при \(B\) вертикальные), поэтому \(AD = OC = R\). Кроме того, \(OD = 2OB = 2R\). Значит, \(D\) можно найти по трём сторонам треугольника \(OAD\): \(OA\), \(AD = R\), \(OD = 2R\).
Построение.
- Окружность с центром \(A\) радиуса \(R\) и окружность с центром \(O\) радиуса \(2R\) пересекаются в точке \(D\).
- Середина \(B\) отрезка \(OD\) лежит на данной окружности (\(OB = R\)).
- Проводим прямую \(AB\); вторая её точка пересечения с окружностью — \(C\).
Доказательство. На луче \(AB\) за точкой \(B\) отложим \(BC' = AB\). Треугольники \(C'BO\) и \(ABD\) равны (SAS: \(BC' = AB\), \(BO = BD\), вертикальные углы), значит, \(OC' = AD = R\) и \(C'\) лежит на окружности. Прямая пересекает окружность не более чем в двух точках, \(C' \ne B\), поэтому \(C' = C\) и \(AB = BC\).
Исследование. Треугольник \(OAD\) со сторонами \(OA\), \(R\), \(2R\) существует, если \(OA < R + 2R = 3R\) (условие \(OA > 2R - R = R\) выполнено, так как \(A\) вне окружности).
- \(OA < 3R\) — две точки \(D\), симметричные относительно \(OA\), дают две прямые.
- \(OA = 3R\) — одна точка \(D\) на отрезке \(OA\); искомая прямая — \(OA\), \(BC\) — диаметр, \(AB = BC = 2R\).
- \(OA > 3R\) — решений нет.
Ответ
Точка, симметричная центру относительно B, находится от A на расстоянии R и от O на расстоянии 2R, поэтому строится как вершина треугольника по трём сторонам.
Подробнее — в теме «Построение треугольника по трём элементам».