Задание 445

Даны угол \(\alpha\), отрезок \(h\) и отрезок \(PQ = p\). Построить \(\triangle ABC\): \(\angle A = \alpha\), высота \(BH = h\) (к прямой \(AC\)), периметр \(p\). Пусть сначала \(\alpha\) острый.

Анализ. Треугольник \(ABH\) прямоугольный, его можно построить по катету \(BH\) и углу \(A\). Отложим на луче \(AC\) отрезок \(AD = AC + CB\). Тогда \(AB + AD = p\), а треугольник \(BCD\) равнобедренный (\(CB = CD\)), значит, \(C\) лежит на серединном перпендикуляре к \(BD\).

Построение.

1. Строим угол \(XAY = \alpha\). В какой-нибудь точке \(K\) луча \(AX\) восставляем перпендикуляр, откладываем на нём \(KL = h\) внутрь угла; через \(L\) проводим прямую, перпендикулярную \(KL\) (она параллельна \(AX\)); она пересекает \(AY\) в точке \(B\). Опускаем \(BH \perp AX\): \(BH = KL = h\) (точки параллельных прямых равноудалены).
2. На отрезке \(PQ\) откладываем \(PR = AB\), на луче \(AX\) — отрезок \(AD = RQ = p - AB\).
3. Серединный перпендикуляр к \(BD\) пересекает отрезок \(AD\) в точке \(C\). \(\triangle ABC\) — искомый.

Доказательство. \(\angle A = \alpha\), \(BH \perp AC\) и \(BH = h\). \(C\) на серединном перпендикуляре, поэтому \(CB = CD\), и \(AB + AC + CB = AB + AC + CD = AB + AD = p\).

Исследование. Нужно, чтобы точка \(C\) попала внутрь отрезка \(AD\). Если \(C\) движется от \(A\) к \(D\), разность \(CB - CD\) растёт от \(AB - AD\) до \(DB > 0\); нулевое значение внутри отрезка бывает ровно один раз, если \(AB - AD < 0\), то есть \(AD > AB\), или \(p > 2AB\).

• \(p > 2AB\) — одно решение;
• \(p \le 2AB\) — решений нет (\(AB\) — гипотенуза треугольника \(ABH\) из шага 1).

Если угол \(\alpha\) прямой, то \(H = A\) и \(AB = h\); если тупой, треугольник \(ABH\) строят со смежным углом \(180^\circ - \alpha\) (\(H\) на продолжении \(CA\)), дальше всё так же.