Задача 1
Постройте треугольник по периметру и двум углам.
Решение
Даны отрезок \(p\) (периметр) и углы \(\alpha\), \(\gamma\). Построить \(\triangle ABC\) с \(\angle A = \alpha\), \(\angle C = \gamma\) и периметром \(p\).
Анализ. Отложим на прямой \(AC\) отрезки \(AD = AB\) (за точку \(A\)) и \(CE = CB\) (за точку \(C\)). Тогда \(DE = AB + AC + CB = p\). Треугольники \(ABD\) и \(CBE\) равнобедренные, а \(\angle BAC\) — их внешний угол: \(\angle BAC = 2\angle D\), поэтому \(\angle D = \dfrac{\alpha}{2}\); так же \(\angle E = \dfrac{\gamma}{2}\). Значит, треугольник \(DBE\) строится по стороне и двум прилежащим углам.
Построение.
- Отрезок \(DE = p\); при \(D\) строим угол \(\dfrac{\alpha}{2}\), при \(E\) — угол \(\dfrac{\gamma}{2}\) (биссектрисы данных углов), по одну сторону от \(DE\); стороны пересекаются в точке \(B\).
- Серединные перпендикуляры к \(DB\) и \(EB\) пересекают \(DE\) в точках \(A\) и \(C\). \(\triangle ABC\) — искомый.
Доказательство. \(AD = AB\), \(CE = CB\) (точки серединных перпендикуляров), поэтому \(AB + AC + CB = DA + AC + CE = DE = p\). \(\angle ABD = \angle D = \dfrac{\alpha}{2}\), и внешний угол треугольника \(ABD\) при \(A\) равен \(\alpha\); так же \(\angle C = \gamma\).
Исследование. Треугольник с углами \(\alpha\) и \(\gamma\) существует только при \(\alpha + \gamma < 180^\circ\). Тогда \(\dfrac{\alpha}{2} + \dfrac{\gamma}{2} < 90^\circ\), точка \(B\) существует, и \(\angle DBE = 180^\circ - \dfrac{\alpha + \gamma}{2} > \dfrac{\alpha}{2} + \dfrac{\gamma}{2}\). Поэтому лучи \(BA\) и \(BC\), образующие с \(BD\) и \(BE\) углы \(\dfrac{\alpha}{2}\) и \(\dfrac{\gamma}{2}\), не пересекаются внутри угла и точки идут в порядке \(D\), \(A\), \(C\), \(E\). Решение единственное. При \(\alpha + \gamma \ge 180^\circ\) решений нет.
Ответ
Развернув боковые стороны на прямую AC, получаем треугольник DBE со стороной, равной периметру, и углами, равными половинам данных.
Подробнее — в теме «Построение треугольника по трём элементам».