Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 447

Задача 1

Условие (кратко)

Даны точки A, B и прямая a, не проходящая через них. Постройте на прямой a точку, равноудалённую от A и B. Всегда ли задача имеет решение?

Решение

Дано: точки $$A$$ , $$B$$ , прямая $$a$$ , $A \notin a$ , $B \notin a$ . Построить $X \in a$ , $$XA = XB$$ .

Точки, равноудалённые от концов отрезка $$AB$$ , — это точки серединного перпендикуляра $$p$$ к $$AB$$ (и только они). Значит, искомая точка — общая точка прямых $$p$$ и $$a$$ .

Построение. Окружности с центрами $$A$$ и $$B$$ радиуса $$AB$$ пересекаются в двух точках; прямая через них — серединный перпендикуляр $$p$$ . Точка $X = p \cap a$ — искомая.

Исследование.

$$AB$$ не перпендикулярна $$a$$ : прямые $$p$$ и $$a$$ не параллельны (иначе $a \perp AB$ ), решение одно.
$AB \perp a$ , но $$a$$ не проходит через середину $$AB$$ : $p \parallel a$ (две прямые, перпендикулярные $$AB$$ ), решений нет.
$AB \perp a$ и $$a$$ проходит через середину $$AB$$ : $$a$$ совпадает с $$p$$ , подходит любая точка прямой $$a$$ .

Значит, задача имеет решение не всегда.

Ответ

Нет, не всегда; при AB ⊥ a решения нет (если только a не серединный перпендикуляр к AB — тогда подходит любая её точка)

Почему так

Точки, равноудалённые от концов отрезка, лежат на его серединном перпендикуляре, а он может оказаться параллельным прямой a.

Подробнее — в теме «Серединный перпендикуляр к отрезку».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).