Задача 1
Постройте точку, лежащую на данной окружности и равноудалённую от концов данного отрезка. Сколько решений может иметь задача?
Решение
Дано: окружность с центром \(O\) радиуса \(r\), отрезок \(AB\). Построить точку \(X\) окружности, \(XA = XB\).
Все точки, равноудалённые от \(A\) и \(B\), лежат на серединном перпендикуляре \(p\) к \(AB\). Значит, \(X\) — общая точка прямой \(p\) и окружности.
Построение. Строим \(p\) (окружности с центрами \(A\) и \(B\) радиуса \(AB\), прямая через их точки пересечения). Отмечаем точки пересечения \(p\) с окружностью.
Исследование. Пусть \(d\) — расстояние от \(O\) до прямой \(p\).
- \(d < r\) — прямая пересекает окружность в двух точках, два решения;
- \(d = r\) — прямая касается окружности, одно решение;
- \(d > r\) — общих точек нет, решений нет.
Ответ
Искомая точка — пересечение окружности с серединным перпендикуляром к отрезку, а прямая и окружность имеют две, одну или ни одной общей точки.
Подробнее — в теме «Серединный перпендикуляр к отрезку».