Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 449

Условие (кратко)

Через три данные точки проведите окружность. Всегда ли задача имеет решение?

Решение

Дано: точки $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ . Построить окружность, проходящую через них.

Центр $$O$$ искомой окружности равноудалён от всех трёх точек: $$OA = OB$$ , значит, $$O$$ на серединном перпендикуляре $$p_1$$ к $$AB$$ ; $$OB = OC$$ , значит, $$O$$ на серединном перпендикуляре $$p_2$$ к $$BC$$ .

Построение. Строим $$p_1$$ и $$p_2$$ , их точка пересечения $$O$$ — центр, радиус $$OA$$ .

Исследование.

$$A$$ , $$B$$ , $$C$$ не лежат на одной прямой. Тогда $$AB$$ и $$BC$$ не параллельны, и перпендикуляры к ним $$p_1$$ , $$p_2$$ тоже не параллельны — пересекаются ровно в одной точке $$O$$ . Так как $$OA = OB = OC$$ , окружность проходит через все три точки (это описанная окружность $\triangle ABC$ ). Решение одно: любой центр обязан лежать на $$p_1$$ и $$p_2$$ .
Точки на одной прямой. Тогда $$p_1$$ и $$p_2$$ перпендикулярны одной прямой и различны (середины $$AB$$ и $$BC$$ разные), поэтому параллельны: точки, равноудалённой от $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ , нет, решений нет.

Ответ

Не всегда; одно решение, если точки не лежат на одной прямой, и ни одного, если лежат

Почему так

Центр окружности через три точки — пересечение серединных перпендикуляров к отрезкам между ними, а для точек на одной прямой эти перпендикуляры параллельны.

Подробнее — в теме «Вписанная и описанная окружности треугольника».

Задание 449

Задача 1