Задача 1
На данной окружности постройте точку, равноудалённую от двух данных пересекающихся прямых. Сколько решений может иметь задача?
Решение
Дано: окружность, прямые \(a\) и \(b\), пересекающиеся в точке \(O\). Построить точку \(X\) окружности, равноудалённую от \(a\) и \(b\).
Точки, равноудалённые от двух пересекающихся прямых, лежат на биссектрисах углов, которые образуют эти прямые. Биссектрисы двух смежных углов образуют две прямые \(l_1\) и \(l_2\), проходящие через \(O\); они перпендикулярны (половина от \(180^\circ\) — \(90^\circ\)).
Построение. Строим биссектрисы двух смежных углов при \(O\) и продолжаем их до прямых \(l_1\), \(l_2\). Отмечаем все точки их пересечения с окружностью.
Исследование. Каждая из прямых \(l_1\), \(l_2\) пересекает окружность в двух, одной или нуле точек; общая точка у них только \(O\).
- Обе прямые пересекают окружность, \(O\) не на окружности, — 4 решения.
- Одна пересекает, другая касается — 3; одна пересекает, другая не имеет общих точек — 2; обе касаются — 2; одна касается, другая не имеет общих точек — 1; обе без общих точек — 0.
- \(O\) на окружности: она — общая точка \(l_1\) и \(l_2\), считается один раз; решений 3 (обе прямые секущие) или 2 (одна из них касательная).
Итак, задача может иметь 4, 3, 2, 1 или 0 решений.
Ответ
Искомые точки — пересечения окружности с двумя перпендикулярными прямыми, содержащими биссектрисы углов между данными прямыми.
Подробнее — в теме «Свойство биссектрисы угла».