Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 451

Условие (кратко)

Даны три попарно пересекающиеся прямые, не проходящие через одну точку. Постройте точку, равноудалённую от этих прямых. Сколько решений имеет задача?

Решение

Дано: прямые $$AB$$ , $$BC$$ , $$CA$$ (они образуют треугольник $$ABC$$ ). Построить точки, равноудалённые от всех трёх прямых.

Точка, равноудалённая от прямых $$BA$$ и $$BC$$ , лежит на одной из двух прямых-биссектрис при $$B$$ : внутреннего угла ( $$b_1$$ ) или внешнего ( $$b_2$$ ). Точно так же, равноудалённая от $$CA$$ и $$CB$$ , — на $$c_1$$ или $$c_2$$ при $$C$$ . Обратно: точка пересечения прямой при $$B$$ с прямой при $$C$$ равноудалена от всех трёх прямых.
Четыре пары, каждая пересекается ровно в одной точке (прямые не параллельны: сумма односторонних углов при секущей $$BC$$ меньше $180^\circ$ , пусть $\angle B = \beta$ , $\angle C = \gamma$ ):

$$b_1$$ и $$c_1$$ : $\dfrac{\beta}{2} + \dfrac{\gamma}{2} < 180^\circ$ — центр $$I$$ вписанной окружности;
$$b_2$$ и $$c_2$$ : $\dfrac{180^\circ - \beta}{2} + \dfrac{180^\circ - \gamma}{2} = 180^\circ - \dfrac{\beta + \gamma}{2} < 180^\circ$ — точка $$J_A$$ (за стороной $$BC$$ );
$$b_1$$ и $$c_2$$ : $\dfrac{\beta}{2} + \gamma + \dfrac{180^\circ - \gamma}{2} = 90^\circ + \dfrac{\beta + \gamma}{2} < 180^\circ$ , так как $\beta + \gamma < 180^\circ$ , — точка $$J_B$$ ;
$$b_2$$ и $$c_1$$ — аналогично, точка $$J_C$$ .

Точки различны: $$I$$ внутри треугольника, а $$J_A$$ , $$J_B$$ , $$J_C$$ — снаружи, в разных частях плоскости (за сторонами $$BC$$ , $$CA$$ , $$AB$$ соответственно).

Построение: строим биссектрисы внутренних и внешних углов при $$B$$ и $$C$$ и отмечаем четыре точки их пересечения.

Ответ

Четыре решения (центр вписанной окружности и три точки вне треугольника)

Почему так

Равноудалённая от трёх прямых точка лежит на биссектрисах углов при двух вершинах, а две пары прямых-биссектрис дают ровно четыре точки пересечения.

Задание 451